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By Hitchcock F. L.

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Gl¨ucklicherweise wurde Dehns Beweis u¨ berarbeitet und vereinfacht, und das Ergebnis der Anstrengungen etlicher Autoren war der klassische Beweis, wie er in Boltianskiis Buch u¨ ber Hilberts drittes Problem und auch in fr¨uheren Ausgaben dieses Buches pr¨asentiert wurde. Dabei wurde wohl u¨ bersehen, dass schon 1903 B. Kagan aus Odessa eine entscheidende Vereinfachung gelungen war: Aus seiner Ganzzahligkeitsu¨ berlegung, die wir hier als Kegel-Lemma“ formulieren, und dem daraus ” folgenden Perlen-Lemma“ (dessen Formulierung neu ist, und von Benko ” stammt) erh¨alt man einen einfachen, g¨ultigen Beweis f¨ur die Bricardsche ” Bedingung“ (die Bricard ja schon in seinem Aufsatz von 1896 behauptet hatte).

Literatur [1] L. E. D ICKSON : On finite algebras, Nachrichten der Akad. -Phys. Klasse (1905), 1-36; Collected Mathematical Papers Vol. III, Chelsea Publ. Comp, The Bronx, NY 1975, 539-574. [2] I. N. H ERSTEIN : Algebra, Physik Verlag, Weinheim 1978. [3] J. H. M. W EDDERBURN : A theorem on finite algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 349-352. ¨ [4] E. W ITT: Uber die Kommutativit¨at endlicher Schiefk¨orper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 8 (1931), 413. µ 1 |q − µ| > |q − 1| q Einige irrationale Zahlen Kapitel 7 π ist irrational“ ” Dies geht auf Aristoteles zur¨uck, der behauptet haben soll, dass Durchmesser und Umfang eines Kreises nicht kommensurabel seien.

P Setzen wir j ≡ ik (mod p), so sehen wir 2 G = i,k k i(1+k) ζ = p p−1 k p k=1 p−1 ζ (1+k)i . i=1 1+k = 1 ist. Wir F¨ur k = p − 1 ≡ −1 (mod p) ergibt dies ( −1 p )(p − 1), da ζ bringen den Summanden k = p − 1 nach vorne und schreiben 2 G = −1 (p − 1) + p p−2 k=1 k p p−1 ζ (1+k)i . i=1 Eulers Kriterium: ( −1 ) = (−1) p p−1 2 34 F¨ur p = 3, q = 5, G2 = (ζ − ζ 2 )2 = ζ 2 − 2ζ 3 + ζ 4 = ζ 2 − 2 + ζ = −3 = 3−1 (−1) 2 3, da 1 + ζ + ζ 2 = 0 ist. Das quadratische Reziprozit¨atsgesetz Da ζ 1+k f¨ur k = p − 1 ein erzeugendes Element der Gruppe ist, ist die i innere Summe p−1 ur alle k = p − 1 nach unserer ersten i=1 ζ = −1 f¨ p−2 Beobachtung.

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by Paul
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