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By Heinz-Georg Quebbemann

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Eine Matrix H ∈ Rm×n hat eine Standardinterpretation als lineare Abbildung ΦH : R n → R m , x → Hx. Umgekehrt sei Φ : N → M eine lineare Abbildung zwischen freien R-Moduln N , M mit Basen X = (x(1) , . . , x(n) ) bzw. Y = (y (1) , . . , y (m) ) und m MYX (Φ) := H = (hij ) ∈ R m×n , wobei (j) Φ(x hij y (i) . )= i=1 Dann gelten wieder die als kommutatives Diagramm N IX Φ  Rn /M  ΦH IY / Rm einpr¨agsame Identit¨at IY ◦ Φ = ΦH ◦ IX sowie bei Wechsel zu neuen Basen W bzw. Z mit ¨ Ubergangsmatrizen Q := MZY (idM ) ∈ GL(m, R) P := MXW (idN ) ∈ GL(n, R), die Transformationsformel MZW (Φ) = QHP.

Wegen dimK K[t] = ∞, dimK End(V ) = n2 ist ψF sicher nicht injektiv, sein Kern also nicht das Nullideal. Das eindeutig bestimmte normierte Polynom gF ∈ K[t] mit Kern ψF = gF K[t] heißt das Minimalpolynom von F . F¨ ur eine Matrix A ∈ K n×n ist das Minimalpolynom gA analog definiert als das normierte Polynom, das den Kern von ψA : K[t] → K n×n , p → p(A) erzeugt. Wie man es berechnet, ist anders als im Fall des charakteristischen Polynoms hA zun¨achst nicht klar; diese Frage wird erst etwas sp¨ater allgemein beantwortet.

Bemerkung. 1 nur bis auf Isomorphie eindeutig. Mit dem Satz werden die Isomorphieklassen endlich erzeugter R-Moduln beschrieben! Insbesondere l¨asst sich f¨ ur jedes Primelement q ∈ R und jedes n ∈ N folgern, wie viele nicht-isomorphe Torsionsmoduln (L = T ) mit der Invariante g1 · . . · gk R = q n R existieren. Schreibt man gj als q nj , dann ist die gesuchte Anzahl gerade die der Partitionen von n. Es folgt ein kleiner Exkurs in dieses Thema der Kombinatorik. Definition. Sei n ∈ N. Eine Partition von n ist ein Tupel (n1 , .

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by George
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