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By Christoph Schweigert

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2 injektiv, seine Surjektivit¨at bleibt zu zeigen. Sei also (σL )L∈I ∈ lim G(L/K) ← vorgeben. Wir m¨ ussen ein σ ∈ G(E/K) finden, so dass σ|L = σL f¨ ur alle L ∈ I gilt. Sei σ : E= L→E L∈L 54 definiert f¨ ur x ∈ L0 durch σ(x) := σL0 (x). Dies ist wohldefiniert, denn seien L1 , L2 ∈ I und L3 = L1 ∩ L2 , so gilt (σL1 )|L3 = (σL2 )|L3 . Betrachte das Kompositum L = L1 L2 , hier gilt (σL )|Li = fLi /L (σL ) = σLi i = 1, 2 . 5. Eine topologische Gruppe G ist eine Gruppe, die mit der Struktur eines topologischen Raumes versehen ist, so dass die Abbildung G×G → G (x, y) → xy −1 stetig ist.

Das heißt, alle Untermengen von G(L/K) werden als offene (und somit auch als abgeschlossene) Mengen deklariert. Durch die Produkttopologie wird das Produkt dieser Galoisgruppen zu einer topologischen Gruppe. Der projektive Limes lim G(L/K) ← als Untergruppe erh¨alt somit die Struktur einer topologischen Gruppe. 4 erh¨alt die Galoisgruppe G(E/K) eine Topologie, die Krulltopologie. 8. (i) Sei E/K eine galoische Erweiterung. Dann ist die mit der Krulltopologie versehene Galoisgruppe G(E/K) kompakt.

Nach Schritt 1 ist die Untergruppe G(E/F0 ) offen, also ist auch σG(E/F0 ) eine offene Umgebung von σ, die aber G(E/F ) nicht trifft. Also ist G(E/F ) abgeschlossen. 3. 7 ist die Abbildung injektiv, denn dort wurde im Beweis Endlichkeit nicht benutzt. 4. Schritt: Sei H ⊆ G(E/K) eine offene Untergruppe und F = E H der Fixk¨orper. Dann ist die K¨orpererweiterung F/K endlich. 8 (ii) gibt es eine endliche galoische Erweiterung L/K mit 58 L ⊆ E, so dass G(E/L) ⊆ H gilt. Damit gilt aber auch die Inklusion F = E H ⊆ E G(E/L) = L, also ist auch die K¨orpererweiterung F/K endlich.

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