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By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par l. a. idea de limite d'une suite ou d'une série numérique et son software à l. a. représentation décimale des nombres, en poursuivant avec los angeles suggestion de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par los angeles définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un aspect de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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Im Teil I des Buches werden fachdidaktische Grundfragen gekl? rt. Ausgangspunkt ist die Frage nach den Zielen im Mathematikunterricht und deren Begr? ndung. Vier Grundt? tigkeiten des Mathematikunterrichts werden einer genauen examine unterzogen: Lernen, Probleml? sen, Anwenden und Modellbilden, Beweisen und Begr?

Download PDF by Joël Ouaknine, James Worrell (auth.), Franck Cassez, Claude: Formal Modeling and Analysis of Timed Systems: 6th

This e-book constitutes the refereed lawsuits of the sixth foreign convention on Formal Modeling and research of Timed structures, codecs 2008, held in Saint Malo, France, September 2008. The 17 revised complete papers awarded including three invited talks have been conscientiously reviewed and chosen from 37 submissions.

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La condition de Cauchy est suffisante. Nous montrons d’abord que la suite {an }n∈N contient une suite partielle convergeant vers un nombre a puis nous utilisons la condition de Cauchy pour montrer que la suite toute enti`ere converge vers a. L’existence d’une suite partielle convergente d´ecoule 34 elle aussi de la condition de Cauchy : cette condition implique que la suite est born´ee. En effet, si N est tel que n, m > N implique |an − am | < 1, on a |an | ≤ |an − aN +1 | + |aN +1 | < 1 + |aN +1 | pour tout n > N .

Montrer que lim f (x) = L si et seulement si x→+∞ lim f x→0+ 3. Soient f, g : ]0, +∞[ → R des fonctions telles que lim f (x) = L et lim g(x) = +∞. x→0 x→0 Montrer que dans ce cas f (x) = 0. x→0 g(x) lim 4. On consid`ere la fonction f : ]0, +∞[→ R d´efinie par √ x+ x √ . f (x) = √ 3 x+ 4x V´erifier qu’elle est continue et calculer (si possible) lim f (x). x→0 60 1 x = L. 5. Montrer que l’enveloppe sup´erieure sup{f, g} et l’enveloppe inf´erieure inf{f, g} de deux fonctions continues f, g : (a, b) → R sont continues.

Puisque limn→+∞ qn = +∞, il n’y a qu’un nombre fini d’entiers n tels que qn ≤ p. Soit d = sup{n | qn ≤ p}. Alors qd ≤ p < q(d + 1) et p = q d + r avec 0 ≤ r < q. D. 44 Soit donc x > 0. Il existe [x] ∈ N0 tel que [x] ≤ x < [x] + 1 ; [x] est la partie enti` ere de x qui peut donc s’´ecrire sous la forme x = [x] + {x} o` u {x} ∈ [0, 1[ est sa partie fractionnaire. Si [x] = 0, soit N ∈ N0 tel que 10N ≤ [x] < 10N +1 . Alors [x] = cN 10N + r1 , cN ∈ C, cN = 0 et 0 ≤ r1 < 10N . Si r1 = 0, soit N1 ∈ N0 tel que 10N1 ≤ r1 < 10N1 +1 , alors N1 < N et [x] = cN 10N + cN1 10N1 + r2 , cN1 ∈ C, cN1 = 0 et 0 ≤ r2 < 10N1 .

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by George
4.3

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