# Laurent Schwartz's Analyse, 1. Théorie des ensembles et topologie PDF

By Laurent Schwartz

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8. - Soient E, F, G trois ensembles, et soit f une application de E dans F et g une application de F dans G. On appelle application composée go f l'application de E dans G donnée par go f(x) = g(f(x)). -+G C'est une règle absolue en mathématiques, que, dans une composition d'opérations, on doit commencer par celle, g, qui est indiquée à droite. 9. - Si A est une partie de E, on a : g o /(A) = g(f(A)) . 17) h 0 qui s'écrit simplement h o g o f. ) = (h 0 g) 0 f ' 46 - Si §3. 18) { 1- réciproque d'une bijection f de E dans F, on a: of =JE( application identique de E) f o 1- 1 = Jp(application identique de1 F ) 1 - Si f est une bijection de E sur F, g une bijection de F sur G, g o f est une bijection de E sur G, et sa bijection réciproque est 1- 1 o g- 1 .

Soient X et Y deux ensembles quelconques (pouvant être égaux) . Pour définir l'ensemble somme de ces deux ensembles, on peut, par exemple, associer à X l'ensemble X+= X x {+}et à Y l'ensemble Y_ =Y x {-},alors la somme de X et Y est la réunion X+ U Y_. En fait on voit que si tout élément x EX est noté x+ et tout élément y E Y est noté y_, la somme est l'ensemble des x+ et des y_ sans référence aux ensembles produits X+ et X_. Godel [15) 51 Chap. I. Théorie des ensembles §4 LES ENTIERS NATURELS : L'AXIOME DE L'INFINI L'axiome de l'infini et le théorème de récurrence.

J. 3. - On appelle application identique d'un ensemble E, l'application de E dans E dont la relation fonctionnelle est la diagonale ~ de E x E. C'est donc l'application de E dans E, notée JE, définie par IE(x) = x. - Soit E une partie d'un ensemble F, on appelle injection canonique de E dans F, l'application i de E dans F, définie par i(x) = x. 5) ={1 0 s~ Sl x EE rt E X - Soit EX F le produit de deux ensembles E et F, on appelle projection sur E l'application de Ex F dans E qui, à chaque couple (x, y) E Ex F, fait correspondre l'élément x.